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曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：
(1)满足下式条件
Dim(A)>dim(A)
的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数(或分维数)，dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。
(2)部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。
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在欧氏空间中，人们*惯把空间看成三维的，*面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们*惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

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